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QUESTIONS

En éliminant l’une des deux inconnues $x$ et $y$ entre ces deux équations, l’autre disparaîtra aussi, et il viendra

$(\nu +m)(\nu +n)(m'\nu -1)(n'\nu -1)-(\nu +m')(\nu +n')(m\nu -1)(n\nu -1)=0,$

ou, en développant et ordonnant,

${\begin{array}{r|r|r}(mn-m'n')\nu ^{4}+(m'+n')(1+mn)&\nu ^{3}+(m'+n')(1+mn)&\nu -(mn-m'n')=0\\-(m+n)(1+m'n')&-(m+n)(1+m'n')&\end{array}}$

ou encore

$(mn-m'n')\left(\nu ^{4}-1\right)+\left\{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')\right\}\nu \left(\nu ^{2}+1\right)=0\,;$

supprimant donc le facteur $\nu ^{2}+1,$ qui ne saurait être nul, on parviendra à cette équation du second degré

$(mn-m'n')\nu ^{2}+\left\{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')\right\}\nu -\left(mn-m'n'\right)=0,$

qu’on peut encore mettre sous cette forme

${\frac {2\nu }{1-\nu ^{2}}}={\frac {2(mn-m'n')}{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')}}\,;$

mais

${\frac {2\nu }{1-\nu ^{2}}}={\frac {2\operatorname {Tang} .z}{1-\operatorname {Tang} .^{2}z}}=\operatorname {Tang} .2z\,;$

donc finalement

$\operatorname {Tang} .2z={\frac {2(mn-m'n')}{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')}}\,;$

Or, on a