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QUESTIONS
En éliminant l’une des deux inconnues
et
entre ces deux équations, l’autre disparaîtra aussi, et il viendra
![{\displaystyle (\nu +m)(\nu +n)(m'\nu -1)(n'\nu -1)-(\nu +m')(\nu +n')(m\nu -1)(n\nu -1)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5de0b03f60d365f7b461429f0a1b49c5d6bec3a)
ou, en développant et ordonnant,
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|r}(mn-m'n')\nu ^{4}+(m'+n')(1+mn)&\nu ^{3}+(m'+n')(1+mn)&\nu -(mn-m'n')=0\\-(m+n)(1+m'n')&-(m+n)(1+m'n')&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6f8c14f170a5a0de13299619bb9c66e8f98a2a)
ou encore
![{\displaystyle (mn-m'n')\left(\nu ^{4}-1\right)+\left\{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')\right\}\nu \left(\nu ^{2}+1\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021c1faf7e2a69a9b9152f15831b78ce13f73a3d)
supprimant donc le facteur
qui ne saurait être nul, on parviendra à cette équation du second degré
![{\displaystyle (mn-m'n')\nu ^{2}+\left\{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')\right\}\nu -\left(mn-m'n'\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baffbbb7eaa412c2d8e360bb9cd4eedcf654047a)
qu’on peut encore mettre sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {2\nu }{1-\nu ^{2}}}={\frac {2(mn-m'n')}{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd82b975ab0d201384a73d0d8a40860ed67a20a1)
mais
![{\displaystyle {\frac {2\nu }{1-\nu ^{2}}}={\frac {2\operatorname {Tang} .z}{1-\operatorname {Tang} .^{2}z}}=\operatorname {Tang} .2z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ad34ba66416e84531cad90f0f19d32ca185030)
donc finalement
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .2z={\frac {2(mn-m'n')}{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3899a86ab2541ba791855390c1a353ac1f592d55)
Or, on a