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CORRESPONDANCE.

$P-Q>M-N,\qquad$(4)

or, il est connu que $P-Q$ est équivalent au premier des prismes circonscrits à $M,$ lequel a été pris plus petit que $M-N\,;$ de sorte qu’on devrait avoir, d’un autre côté,

$P-Q<M-N\,;\qquad$(5)

ce qui contredit l’inégalité (4), et prouve ainsi que l’inégalité (1) ne saurait être admise.

ANALISE TRANSCENDANTE.

Note à l’appui d’une réflexion de M. Plana,
dans l’article inséré à la page 145 de ce volume ;

Par un Abonné.

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En parlant des résultats qu’on obtient en prenant l’intégrale qui exprime l’aire d’une courbe au-delà de ses limites physiques et réelles, M. Plana s’exprime ainsi (pag. 148) : « Plusieurs exemples démontrent que, en pareil cas, il suffit de supprimer la partie imaginaire du résultat ainsi trouvé, pour obtenir l’intégrale arithmétique ; mais je n’ose croire qu’un tel moyen puisse, dans tous les cas, être employé avec sûreté ».

Il est aisé de justifier, par un exemple, le scrupule que manifeste M. Plana en cet endroit. Soit considérée, en effet, une lemniscate dont l’équation polaire soit

$r^{2}=a^{2}\operatorname {Cos} .2\theta ,$

laquelle ne donne des valeurs réelles pour le rayon vecteur, qu’autant que l’angle $\theta$ n’excède pas $45^{\circ }.$ Puisqu’en général l’aire d’une courbe rapportée à des coordonnées polaires est $\int {\frac {r^{2}\operatorname {d} \theta }{2}},$