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PUISSANCES
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}a^{m-3}+bA_{m-4}=A_{m-3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9811cff5942ca0461548d9c8aab1e2629cbda58)
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{m-2}+bA_{m-3}=A_{m-2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3572b18ff2ad4408d0fb974b05cbd51e062cfad6)
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}a^{m-1}+bA_{m-2}=A_{m-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d3d1a544bfd8f3104330c1eff23ae1b3e4d33f)
![{\displaystyle a^{m}+bA_{m-1}=A_{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648b5ab4914b637c01c26fb20c9c4458c2acbdf2)
En prenant la somme de leurs produits respectifs par ![{\displaystyle b^{m-1},b^{m-2},b^{m-3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5baa176a319c63fb9f5c52304aa22acb5c56f21e)
il vient, en réduisant,
![{\displaystyle A_{m}=a^{m}+{\frac {m}{1}}a^{m-1}b+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{m-2}b+\ldots +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{2}b^{m-2}+{\frac {m}{1}}.ab^{m-1}+b^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e893c635ad54aba32d8d3e3a2dbfbed064a9c7a7)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle A_{m}=(a+b)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ceb931eed9d1733f3824ef0c236559e7d17c743)
Si, par exemple, on avait
en posant successivement
![{\displaystyle {\begin{aligned}5a\ +b\,\quad &=A_{1},\\5a^{2}+bA_{1}&=A_{2},\\10a^{3}+bA_{2}&=A_{3},\\5a^{4}+bA_{3}&=A_{4},\\a^{5}+bA_{4}&=A_{5},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f213751d6d096f32ce1de2c9a8eeed757ab3c7)
on aurait
![{\displaystyle A_{5}=(a+b)^{5}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a648ee3235cc757cb98e272ccfdd1418d72fcd5a)
Voilà donc un moyen assez commode de former une puissance d’un nombre composé de dizaines et d’unités. Soit, par exemple, le nombre
dont il soit question de former la cinquième puissance ; en le considérant comme
prenant
pour
et
pour
on écrira d’abord les cinq premières puissances de
en cette manière
![{\displaystyle 40,1600,64000,2560000,102400000,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/285764d7ebb43f459debb208920ae7cd05ea6530)
et au-dessous les coefficiens de la cinquième puissance d’un binôme, à partir du second terme, en cette manière,
![{\displaystyle 5,10,10,5,1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094051980d919274f2a977a75c280c527a9ee3cd)