Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/35

31

ET DES SURFACES COURBES.

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}={\frac {bz-cy}{ay-bx}},\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}={\frac {cx-az}{ay-bx}}\,;$

valeurs qui, substituées dans l’équation (1), la changeront en celle-ci :

$(bz-cy)(t-x)+(cx-az)(u-y)+(ay-bx)(v-z)=0\,;$

laquelle se réduit à

$(cu-bv)x+(av-ct)y+(bt-au)z=0.$

En la combinant avec les deux équations du cercle donné, et posant

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,$

ce qui est permis, on en tirera

${\begin{aligned}&x=r.{\frac {a(at+bu+cv)-t}{\sqrt {\left(t^{2}+u^{2}+v^{2}\right)-(at+bu+cv)^{2}}}},\\\\&y=r.{\frac {b(at+bu+cv)-v}{\sqrt {\left(t^{2}+u^{2}+v^{2}\right)-(at+bu+cv)^{2}}}},\\\\&z=r.{\frac {c(at+bu+cv)-v}{\sqrt {\left(t^{2}+u^{2}+v^{2}\right)-(at+bu+cv)^{2}}}}\,;\end{aligned}}$

substituant ces valeurs dans l’équation {2) on trouvera, pour l’équation de la courbe cherchée,

$4r^{2}\left\{\left(t^{2}+u^{2}+v^{2}\right)-(at+bu+cv)^{2}\right\}=\left\{r^{2}+\left(t^{2}+u^{2}+v^{2}-k^{2}\right)\right\}^{2}.$

17.

L’aire et le volume de la surface parallèle à une courbe à double