31
ET DES SURFACES COURBES.
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}={\frac {bz-cy}{ay-bx}},\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}={\frac {cx-az}{ay-bx}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a01fdeb6562dba48ebce91cd4ea87a23d56168)
valeurs qui, substituées dans l’équation (1), la changeront en celle-ci :
![{\displaystyle (bz-cy)(t-x)+(cx-az)(u-y)+(ay-bx)(v-z)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c276aa9135f5ce9034f9b0a536b8eb87ab7471a)
laquelle se réduit à
![{\displaystyle (cu-bv)x+(av-ct)y+(bt-au)z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2adc35a6a0c7c85fdac87af6d2d6637000ad4ab0)
En la combinant avec les deux équations du cercle donné, et posant
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f00932a27e6d1da9736cee25077fe0a4cb9045c)
ce qui est permis, on en tirera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=r.{\frac {a(at+bu+cv)-t}{\sqrt {\left(t^{2}+u^{2}+v^{2}\right)-(at+bu+cv)^{2}}}},\\\\&y=r.{\frac {b(at+bu+cv)-v}{\sqrt {\left(t^{2}+u^{2}+v^{2}\right)-(at+bu+cv)^{2}}}},\\\\&z=r.{\frac {c(at+bu+cv)-v}{\sqrt {\left(t^{2}+u^{2}+v^{2}\right)-(at+bu+cv)^{2}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17594c4b13532267d6290503461f6b642e8cbb8d)
substituant ces valeurs dans l’équation {2) on trouvera, pour l’équation de la courbe cherchée,
![{\displaystyle 4r^{2}\left\{\left(t^{2}+u^{2}+v^{2}\right)-(at+bu+cv)^{2}\right\}=\left\{r^{2}+\left(t^{2}+u^{2}+v^{2}-k^{2}\right)\right\}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41498f50e5582d605ce30c28bb2fe2a81ef6e124)
17.
L’aire et le volume de la surface parallèle à une courbe à double