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PARALLÉLISME DES LIGNES
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}={\frac {a}{c}},\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}={\frac {b}{c}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26ad81be40273176740e82e8150847271cf83b0)
au moyen de quoi l’équation (1) deviendra
![{\displaystyle a(t-x)+b(u-y)+c(v-z)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334ac4ecb76af5e74ddae99a9582958d5259fd93)
de celle-ci et de la double équation de notre droite on tirera
![{\displaystyle x={\frac {a(at+bu+cv)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad y={\frac {b(at+bu+cv)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad z={\frac {c(at+bu+cv)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c3878fb540dc658869a6a7c2a8c5618041ec68)
et, par suite
![{\displaystyle {\begin{aligned}&t-x={\frac {\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)t-a(at+bu+cv)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\\\\&u-y={\frac {\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)u-b(at+bu+cv)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\\\\&v-z={\frac {\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)v-c(at+bu+cv)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3532e7ffe8b81b10bf0b3ede840cb0aabb69ae)
substituant donc ces valeurs dans l’équation (2), nous aurons, pour l’équation de la courbe cherchée,
![{\displaystyle (at+bu+cv)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(t^{2}+u^{2}+v^{2}-k^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1393d24e9c617c7d5978a7f96010cdcc5173b3a9)
Soit encore, pour exemple, le cercle donné par le système des deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&ax+by+cz=0,\\\\&x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771f2cb2b510e2458c265d1c247106c5053da11c)
on aura ici