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QUESTIONS RÉSOLUES.

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution du problème proposé dans la note de la
page 231 du I.^er volume de ce recueil ;

Par un Abonné.

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Problème. Par deux points donnés, sur un plan, faire passer une courbe telle que la portion de ce plan comprise entre cette courbe, les ordonnées des deux points donnés et l’axe des abscisses, soit équivalente à un quarré donné ?

Solution. Avant de nous occuper de cette question en particulier, occupons-nous d’une question plus générale. Soit $V$ une fonction donnée quelconque de la variable indépendante $x,$ de sa fonction $y$ et des coefficiens différentiels de cette dernière. Supposons que la relation entre $x$ et $y$ ne soit pas déterminée, et proposons-nous de trouver quelle ievrait être cette relation, pour que l’intégrale $\int V\operatorname {d} x$ prise entre deux limites données $a$ et $g$ fût égale à une quantité donnée $k^{2}.$

Soit $X$ une fonction de $x$ dont la valeur, prise entre les limites $a$ et $g,$ soit égale à $k^{2},$ c’est-à-dire, telle qu’en représentant respectivement par $A$ et $G$ ce qu’elle devient lorsqu’on y fait successivement $x=a,\ x=g,$ on ait $A-G=k^{2}\,;$ en posant

$V={\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}},\qquad$(1)

on aura