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DES POLYNOMES.
![{\displaystyle x^{m}+ax^{m-1}+bx^{m-2}+\ldots +gx+h=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b1ca310dd478f5de598a0a812a49f6dcc4520c)
(1)
et, pour fixer les idées, supposons que s’étant assuré qu’elle n’a de diviseurs rationnels ni du premier ni du second degré, on veuille savoir si elle n’en a pas quelqu’un du troisième. Représentons ce diviseur, s’il existe, par
![{\displaystyle x^{3}+Ax^{2}+Bx+C,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163a39ed517c87194f15f1d565dc1bbbe3ef62e3)
(2)
dans lequel il s’agira, s’il est possible, de déterminer les nombres
lesquels doivent évidemment être entiers.
Pour y parvenir, remarquons d’abord que, si (2) divise (1), il devra le diviser, quelque valeur particulière qu’on donne à
Mettons donc pour
dans l’un et dans l’autre, les termes
d’une progression quelconque par différences ; représentons par
les valeurs numériques que prend le premier membre de (1), par l’effet de cette substitution. Quant à (2), il deviendra successivement
![{\displaystyle {\begin{aligned}&k^{3}+Ak^{2}+Bk+C,\\&(k+l)^{3}+A(k+l)^{2}+B(k+l)+C,\\&(k+2l)^{3}+A(k+2l)^{2}+B(k+2l)+C,\\&(k+3l)^{3}+A(k+3l)^{2}+B(k+3l)+C\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d8e7cc082a84c4f37eb0a60c10954e089e459d7)
dont les premières différences seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&l\left\{\left(3k^{2}+\,\ 3kl+\quad l^{2}\right)+A(2k+\ \ l)+B\right\},\\&l\left\{\left(3k^{2}+\,\ 9kl+\ \ \,7l^{2}\right)+A(2k+3l)+B\right\},\\&l\left\{\left(3k^{2}+15kl+19l^{2}\right)+A(2k+5l)+B\right\}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7043de5bc125824d732e06dd5e92b6f4bdd84b6)
les secondes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&1.2l^{2}\left\{3\left(k+\ \ l\right)+A\right\},\\&1.2l^{2}\left\{3\left(k+2l\right)+A\right\}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29fa5690556c41397ce61f67c323895f19fdb1a)
et enfin la troisième