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DÉVELOPPEMENT
est commutative avec
et avec toute fonction qui ne renferme pas
mais on ne saurait avoir, en général,
![{\displaystyle {\frac {\rm {E}}{y}}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}u=\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}u,\qquad {\frac {\rm {E}}{x}}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{-1}u=\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{-1}{\frac {\rm {E}}{x}}u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a227742a6480417e4bec37b2ebccdbe8d548cf)
car, supposons
nous aurons
et par conséquent
tandis que l’on a
et conséquemment
Il en serait de même pour ![{\displaystyle {\frac {\rm {E}}{x}}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cefc5aecb8f78bcacc53565a35fe58ae7a9751)
Enfin, nous trouverons que
sont de nature distributive, tout aussi bien que
Supposant maintenant que
est une fonction
on aura
![{\displaystyle {\frac {\Delta }{y}}u={\frac {\Delta }{x}}u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/402f06aa0548ad808d119e131965c7ed79434f60)
d’où on conclura, en représentant par
ce que devient
lorsqu’on y fait ![{\displaystyle y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5a09dd8418fea11ba6000cc2e4ecf0f533bcf3)
![{\displaystyle u=u_{0}+\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\Delta }{x}}u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ac6a383910e81a8e68b2453217c799578639b0)
et par suite, en observant la même marche qui nous a conduit à l’équation (3),