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DÉVELOPPEMENT
De même si, étant un facteur constant, on avait
nous dirions que la caractéristique est commutative avec ce facteur. C’est, par exemple, ce qui arrivera, si le mode de dérivation désigné par consiste à substituer pour dans une fonction quelconque de
Mais si, au contraire, le mode de dérivation consistait, par exemple, à prendre le logarithme, le facteur et la caractéristique cesseraient dès-lors d’être commutatifs entre eux, puisque et ne sont point la même chose.
Si trois caractéristiques sont commutatives deux à deux, c’est-à-dire, si l’on a
ces trois caractéristiques seront aussi commutatives entre elles ; c’est-à-dire qu’on aura
Cela se prouve en changeant en dans la première des trois équations de départ, en dans la seconde, en dans la troisième ; puis en prenant les dérivées respectivement, des deux membres des trois mêmes équations, et comparant ensuite les résultats. On a, pour la première transformation,
et par la seconde
ce qui établit complètement la proposition annoncée.