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ÉLIMINATION

Si l’on nous donnait la valeur de $y,$ dès-lors $by+c,\ b'y+c',$ deviendraient des termes connus, et la recherche de $x$ rentrerait dans le problème plus que déterminé à une inconnue qui vient de nous occuper ; la valeur donnée pour $y$ devrait donc être telle qu’on eût (3)

$a(b'y+c')-a'(by+c)=0\,;$

mais, si $y$ n’est pas encore déterminée, on se trouvera à temps de faire en sorte que cette dernière équation soit satisfaite ; et il ne s’agira pour cela que de prendre $y$ égale à la valeur qu’elle donne pour cette inconnue, c’est-à-dire :

$y=-{\frac {ac'-ca'}{ab'-ba'}},$

d’où on déduit, par une simple permutation de lettres

$x=-{\frac {cb'-bc'}{ab'-ba'}}\,;$

et telles sont, conséquemment, les valeurs de $x,y$ déduites des équations (1′).

Si, outre ces deux équations, on avait encore

$a''a+b''y+c''=0,\qquad$(2′)

le problème se trouverait plus que déterminé, et ne pourrait être résolu qu’autant que les valeurs de $x$ et $y$ déduites des équations (1′) satisferaient à cette dernière, c’est-à-dire, qu’autant qu’on aurait

$-a''{\frac {cb'-bc'}{ab'-ba'}}-b''{\frac {ac'-ca'}{ab'-ba'}}+c''=0,$

c’est-à-dire,

$(a'b''-b'a'')c+(a''b-b''a)c'+(ab'-ba')c''=0.\qquad$(3′)

Telle est donc l’équation de condition nécessaire pour que les trois équations (1′, 2′) puissent avoir lieu en même temps.

Soit, en troisième lieu, les équations