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QUADRILATÈRE

Le cercle auquel est inscrit le quadrilatère dont il s’agit se trouvant en même temps circonscrit au triangle dont les trois côtés sont $a,d,x\,;$ en représentant par $R$ le rayon de ce cercle, il est aisé de voir qu’on aura

$R={\frac {x}{2\operatorname {Sin} .(a,d)}}\,;$

mettant donc pour $x$ et $\operatorname {Sin} .(a,d)$ les valeurs déterminées ci-dessus, et posant, pour abréger,

$(ab+cd)(ac+bd)(bc+ad)=K,$

il viendra

$R={\sqrt {\frac {K}{ABCD}}}={\frac {\sqrt {K}}{4Q}}.$^[1]$\qquad$(5)

Si ensuite, dans cette formule, on suppose $d=0,$ on retombe

donnés on puisse former trois quadrilatères inscriptibles au cercle, non superposables, on peut néanmoins reconnaître, à l’avance, que l’expression de l’aire du quadrilatère inscrit, comme celle de l’aire du triangle est une fonction symétrique de ses côtés ; attendu que les trois quadrilatères résultant de la permutation des quatre mêmes côtés donnés, bien que non superposables, en général, sont néanmoins équivalens. Cela est d’abord évident pour le cas où l’on échange entre eux deux côtés consécutifs, puisqu’alors un des deux triangles dont se compose le quadrilatère reste le même, tandis que l’autre est seulement tourné en sens inverse ; et, quant à l’échange de deux côtés opposés, il doit encore en être de même, puisqu’on peut y parvenir par une suite d’échanges de deux côtés consécutifs. Ces mêmes considérations prouvent, en outre, que les trois quadrilatères sont-tous inscriptibles à un même cercle.

J. D. G.
1. D’après ce qui vient d’être dit, dans la précédente note, on ne doit pas être surpris de voir ici reparaître, de nouveau, une fonction symétrique des quatre côtés du quadrilatère.
   J. D. G.