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DÉFINIES.
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} a^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} b^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10812115c4d8f107e1256fe5365a663289d554b2)
équation dont l’intégrale est, en général,
![{\displaystyle y=\phi \left(b+a{\sqrt {-1}}\right)+\psi \left(b-a{\sqrt {-1}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87010a953e110e55faf2c1ddefc3e54995c500c)
ainsi qu’on peut s’en convaincre par la différentiation et l’élimination des fonctions arbitraires. De là on tire
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}=\left\{\phi '\left(b+a{\sqrt {-1}}\right)-\psi '\left(b-a{\sqrt {-1}}\right)\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221b7e530b168033064804225ccbfb261c29e385)
valeur qui se réduit à
![{\displaystyle \left\{\phi '(b)-\psi '(b)\right\}{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa9ba6304c43310f6979353c828139e209327e4)
lorsqu’on suppose
mais la valeur de
déterminée ci-dessus prouve que, dans la même circonstance, ce coefficient différentiel doit s’évanouir ; donc
![{\displaystyle \phi '(b)=\psi '(b),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc426d8706f3bdf018c45bb7d2f5239a23cb519)
d’où
![{\displaystyle \quad \phi (b)=\psi (b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8d139a640baf446878b782a9ff87599b9eb92b)
et, par suite,
![{\displaystyle y=\phi \left(b+a{\sqrt {-1}}\right)+\phi \left(b-a{\sqrt {-1}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92cd3d9bc133d04dad37952aed9f6adacc9bbe24)
En posant ici
il vient
![{\displaystyle y=2\phi (b)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f91e5d577deedac0a6a6754df253f2ed9e5141fe)
et, d’un autre côté, on doit avoir, dans le même cas,
![{\displaystyle y=\int e^{-bx}X\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5515a24203cdf33a1d41d37295555be2b76d07bf)