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PARALLÉLISME DES LIGNES
![{\displaystyle x={\frac {rt}{r\pm k}},\quad y={\frac {ru}{r\pm k}},\quad z={\frac {rv}{r\pm k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7db54418867eed809f7d56af62a3bb085172654)
en substituant donc ces valeurs dans l’équation de la sphère donnée, ou obtient, pour celle de la surface cherchée
![{\displaystyle t^{2}+u^{2}+v^{2}=(r\pm k)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5220a45857fde9f3bcad45a67a9d1ab86b999413)
équation d’une autre sphère, concentrique à la première, et ayant un rayon égal au sien, augmenté ou diminué de la longueur k.
10.
Le parallélisme est donc réciproque, pour les plans et les sphères, et nous sommes naturellement conduits à chercher s’il en est de même pour toutes les surfaces. Observons auparavant qu’en vertu des équations (1, 2, 3) et de l’équation de la surface donnée, quatre quelconques des six variables,
peuvent être considérées, comme fonctions des deux autres. Dans tout ce qui va suivre, nous considérerons
comme fonctions de
et
qui seront ainsi les deux variables indépendantes.
Cela, posé, en différentiant successivement l’équation (3) par rapport à
et
on trouve
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}-1\right)(t-x)+{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}(u-y)+\left({\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)(v-z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ed1c373d6d48f6b9086a23285fbc625e5e0d18)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} y}}(t-x)+\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}-1\right)(u-y)+\left({\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}\right)(v-z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7938161a35784f9c232a4610f55941d1a372c742)
en mettant, dans ces équations, pour
les valeurs données par les équations (1, 2) et réduisant, il viendra,