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INTÉGRALES
fait la première égale à
et celle de ![{\displaystyle U=u^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59cd77030d1b7e60ad2666c2839f9e50a75e619)
fait la seconde égale à
Cependant, il faut encore, dans cette partie, remarquer des formes fondamentales, d’où dépendent un grand nombre de formes secondaires plus ou moins élégantes, telles sont, par exemple,
![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {Cos} .mu}{n^{2}+u^{2}}}\operatorname {d} u,\qquad \int u^{a}e^{-u}\operatorname {Cos} .mu.\operatorname {d} u,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5fff8d0b9e4e00fb56f09061c80597bd48f106)
etc.
qu’on a trouvées par la rédaction à des équations différentielles, par le passage du réel à l’imaginaire, etc. Nous aurons soin de les exposer, comme des corollaires de la formule générale
![{\displaystyle \int U_{1}\operatorname {F} (U)\operatorname {d} u={\rm {S}}y_{x}\int U_{1}U^{x}\operatorname {d} u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26e15212671f9910724669289d7043a4dbbc4ae)
et ne supposant pas
et
des fonctions plus générales que le binôme, nous rappellerons seulement la formule connue
![{\displaystyle \int u^{m-1}\operatorname {d} u\left(1-au^{n}\right)^{p}=u^{m-n}\left(1-au^{n}\right)+{\frac {m-n}{a(m+np)}}\int u^{m-n-1}\left(1-au^{n}\right)^{p}\operatorname {d} u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a68768d0d1dc61964bd2147aec6767036d7df2)
d’où on tire, en supposant
et
positifs, et prenant l’intégrale depuis
jusqu’à ![{\displaystyle u={\sqrt[{n}]{\frac {1}{a}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525ee39e62a567309a466793cc59977009309bf4)
![{\displaystyle \int u^{m-1}\operatorname {d} u\left(1-au^{n}\right)^{p}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0311a2eb01b029293eda44e91cc5a5b6a1553257)
![{\displaystyle {\tfrac {(m-n)(m-2n)\ldots (m-rn)}{a^{r}(m+np)\left[m+n(p-1)\right]\ldots \left[m+n(p-r+1)\right]}}\int u^{m-rn-1}\left(1-au^{n}\right)^{p}\operatorname {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e71dfe29ecd748d3cbe3944eced91c965b27ff7)
Faisant d’abord
et
on aura
![{\displaystyle \int u^{m}\left(1-au^{n}\right)^{p}\operatorname {d} u=z_{x}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de083a37f9fc97a2fcc5cff58a4fe6dd3ad8a40)
mais il est facile de voir, par la formule précédente, que cette quantité doit, en général, dépendre d’un nombre
d’intégrales