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QUESTIONS

QUESTIONS RÉSOLUES.

Démonstration des deux théorèmes de géométrie énoncés
à la page 72 de ce volume ;

Par M. J. B. Durrande, professeur de physique
au collége royal de Cahors.

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THÉORÈME I. De tous les systèmes de diamètres conjugués d’une ellipse, les diamètres principaux sont ceux dont la somme est un minimum ; et les diamètres conjugués égaux sont ceux dont la somme est un maximum.

Démonstration. Soient $a,b$ les demi-diamètres principaux d’une ellipse, $x,y$ deux demi-diamètres conjugués quelconques, et $\gamma$ l’angle que comprennent entre eux ces demi-diamètres ; on aura, comme l’on sait^[1],

$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2},\qquad xy\operatorname {Sin} .\gamma =ab.$

Ajoutant et retranchant successivement le double de la dernière de ces deux équations au produit de la première par $\operatorname {Sin} .\gamma ,$ il viendra, en divisant ensuite par $\operatorname {Sin} .\gamma$ et extrayant la racine quarrée des deux membres,

1. Voyez le précèdent article.
   J. D. G.