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INTÉGRALES
manière de procéder, nous nous occuperons d’abord de l’ellipse, et afin d’élargir un peu la question, nous y comprendrons la théorie des diamètres conjugués en général.
Soient
les deux diamètres principaux d’une ellipse ; prenons-les pour axes des coordonnées, et adoptons
pour symboles des coordonnées courantes ; l’équation de la courbe sera ainsi
![{\displaystyle \left({\frac {X}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {Y}{b}}\right)^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2081fe6abc4153a737400712a7aef11144e9fd8)
Soient
deux points de la courbe, dont les distances à son centre soient respectivement
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{array}{rlrl}\left(\ {\frac {x}{a}}\ \right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\ \right)^{2}=1,&(1)&x^{2}+y^{2}\ =a'^{2},&(3)\\\\\left({\frac {x'}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y'}{b}}\right)^{2}=1,&(2)&x'^{2}+y'^{2}=b'^{2},&(4)\\\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac3bcf00c370b4af9f1cf7243cc1dc6c6a29b33)
De plus, en désignant par
l’angle des deux demi-diamètres
nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\gamma ={\frac {xy'-yx'}{a'b'}},\quad (5)\qquad \operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {xx'+yy'}{a'b'}}.\quad (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae834fbba88db6766a86efe44d57528a65901d2)
Si l’on veut que
soient des diamètres conjugués, il sera nécessaire et suffisant pour cela que le diamètre parallèle à la tangente en
contienne
or, l’équation de ce diamètre est
![{\displaystyle {\frac {xX}{a^{2}}}+{\frac {yY}{b^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77578cbcd0658c5f7243e0c4254354d4ca1d3e79)
puis donc que cette équation doit être satisfaite par
on aura