Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/137

133

DES RENCONTRES.

donc, lorsque le nombre $n$ des numéros est infini, la probabilité demandée est ${\frac {e-1}{e}}=0,6321394\ldots \,;$ et, comme la série est extrêmement convergente, on en doit conclure que c’est aussi là, à très-peu près, la probabilité cherchée, toutes les fois que $n$ est un grand nombre quelconque.

Si, au lieu de supposer un seul numéro de chaque sorte, on en supposait un nombre $m,$ on remarquerait qu’un numéro ne peut être à son rang que dans les $n$ premiers tirages ; que conséquemment on devra arrêter le développement à ses $n$ premiers termes. L’équation à intégrer sera

$Z_{mn,x}=Z_{mn,x-1}-mZ_{mn-1,x-1}\,;$

elle donnera

${\begin{aligned}&Z_{mn,1}=m(mn-1)!,\\&Z_{mn,2}=m(mn-1)!-m^{2}(mn-2)!,\\&Z_{mn,3}=m(mn-1)!-2m^{2}(mn-2)!+m^{3}(mn-3)!,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&Z_{mn,x}=m(mn-1)!-{\frac {x-1}{1}}m^{2}(mn-2)!+{\frac {x-1}{1}}.{\frac {x-2}{2}}m^{3}(mn-3)!-\ldots \end{aligned}}$

d’où

$\Sigma Z_{mn,x}=m.{\frac {x}{1}}(mn-1)!-{\frac {x}{1}}.{\frac {x-1}{2}}m^{2}(mn-2)!+{\frac {x}{1}}.{\frac {x-1}{2}}.{\frac {x-2}{3}}m^{3}(mn-3)!-\ldots$