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ÉQUATIONS
![{\displaystyle \operatorname {F} \left\{x,\psi x,\psi (\operatorname {f} _{1}x),\psi (\operatorname {f} _{2}x),\psi (\operatorname {f} _{3}x),\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778b650abeb2091a402e9bc0a3d7d8ecbc04ed16)
dans laquelle
désigneraient des fonctions quelconques de
tout-à-fait indépendantes les unes des autres, et n’étant soumises à aucune loi de dérivation régulière ; et M. Babbage ne dit pas si, dans ce cas général, il y aurait moyen de déduire de l’équation proposée la forme de la fonction ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Nous observerons à ce sujet que d’abord on peut souvent, par une simple transformation, rendre périodiques des fonctions qui ne paraissent point l’être. Qu’on ait, par exemple, l’équation
![{\displaystyle a\psi \left({\frac {ax^{2}}{a^{2}+x^{2}}}\right)-{\frac {a^{2}+x^{2}}{a}}\psi \left(-{\frac {a^{3}}{x^{2}}}\right)=a^{2}+x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5586b0e657838a36ae4a6ad2295527033659dfc9)
dans laquelle aucune des deux fonctions
ne paraît être périodique ; en y faisant simplement
elle deviendra
![{\displaystyle a\psi \left[{\frac {a(x'-a)}{x'}}\right]-x'\psi \left[-{\frac {a^{2}}{x'-a}}\right]=ax'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff8370886e8464a04baa1ac674c04cc4695db21)
équation qui n’est autre chose que celle du problème de géométrie que nous nous sommes proposé au commencement de cet extrait ; nous en tirerons donc, comme alors
![{\displaystyle \psi x'=-{\frac {ax'}{x'-a}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc1b390e519ececbf4847ee0c6b3c3e66e116de0)
d’où
![{\displaystyle \quad \psi x=-{\frac {ax}{x-a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958803ee0e939ac9bdd7dc84015cf0df1ecdce1c)
Mais de telles transformations sont-elles indistinctement applicables à toutes sortes d’équations fonctionnelles ? et, en supposant qu’il en soit ainsi, comment découvrira-t-on la transformation qui convient à chacune d’elles ? Si, au contraire, ces transformations ne