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CIRCULAIRES.
![{\displaystyle \left(\operatorname {Cos} .x\mp {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)^{m}=\operatorname {Cos} .mx\mp {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e56e803664d79318673faa0a90aa815234172c)
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}B&={\frac {2^{m}\operatorname {Cos} .^{m}x}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\operatorname {Cos} .mx+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx\right)\left(\operatorname {Cos} .mx-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx\right)\\&-{\frac {2^{m}\operatorname {Cos} .^{m}x}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\operatorname {Cos} .mx-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx\right)\left(\operatorname {Cos} .mx+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cad9e4c9948075c2512bdaf00c17f885ccc6957)
c’est-à-dire
quel que soit l’exposant
entier ou fractionnaire.
Cette conclusion cesse pourtant d’être vraie, lorsque
car alors on a
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(m-2n)x=\operatorname {Sin} .(m-2n)\varpi =\operatorname {Sin} .m\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13788e31f13c69cc05f5748634b025ec3d09f3b8)
étant un nombre entier positif quelconque, donc, en revenant sur nos pas, la première transformée sera
![{\displaystyle B={\frac {e^{m\varpi {\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}(1+1)^{m}-{\frac {e^{-m\varpi {\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}(1+1)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15148f2e709b195a96a3b3b31d9db39d358f65fc)
puisque
![{\displaystyle e^{-2\varpi {\sqrt {-1}}}=e^{+2\varpi {\sqrt {-1}}}=\operatorname {Cos} .2\varpi \mp {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2\varpi =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0be6b49d683cd5c03cea267c2f8df1ee0c2732)
Ainsi nous aurons
![{\displaystyle B=2^{m}\operatorname {Sin} .m\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519036459d01aed5783b29d6577609422108a5ea)
ce qui donnera ces deux équations