Enfin, on satisfait encore à cette équation en posant
donc, si l’on mène une parallèle à chacun des axes par le milieu de l’intervalle entre les deux points situés sur l’autre, les deux droites ainsi menées se couperont en un point de la courbe ; ce qui revient à dire que si, ayant joint deux quelconques des points donnés par une droite et les deux autres par une autre droite, on mène par le milieu de chacune de ces deux droites une parallèle à l’autre, les deux droites ainsi menées se couperont en un point de la courbe.
On a donc, en résumé, le théorème suivant :
THÉORÈME. Dans tout quadrilatère simple, les six points milieux des quatre côtés et des deux diagonales, les trois points d’intersection tant des deux diagonales que des deux systèmes de côtés opposés, et enfin les trois points d’intersection des parallèles menées soit à chaque diagonale par le milieu de l’autre, soit à chaque côté par le milieu de son opposé, sont douze points d’une même section conique. Son centre est au milieu commun des droites qui joignent les milieux soit des deux diagonales, soit des côtés opposés du quadrilatère. Enfin, les trois systèmes de deux droites, menés par ce centre parallèlement soit aux deux diagonales, soit à deux côtés opposés, sont trois systèmes de diamètres conjugués de la courbe. Cette section conique est le lieu des centres de toutes les sections coniques circonscrites au quadrilatère dont il s’agit.
Il est facile de se convaincre, au surplus, que les douze points de la courbe que nous venons de désigner sont situés deux à deux aux extrémités d’un même diamètre.
Il est également facile de voir que la section conique sera une hyperbole ou une ellipse, suivant que le quadrilatère sera ou ne sera pas convexe.
Si donc l’on demandait le centre d’une section conique qui passât
