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QUESTIONS
Nous terminerons par rappeler que le centre de la courbe (1)
est donné par les dérivées de son équation, prises successivement
par rapport à
, lesquelles sont
![{\displaystyle Ax+Cy+A'=0,\quad (9)\qquad By+Cx+B'=0,\quad (10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dfd8adce1840b3d4f07feec8d1424ddaba4b2e2)
et donnent
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}\left(c^{2}+AB\right)x+(B'C-A'B)=0,&(11)\\\left(c^{2}+AB\right)y+(A'C-B'A)=0.&(12)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bccb29e70c28186a6d51724851ee99391c84c57b)
PROBLÈME I. Déterminer le lieu des centres de toutes les sections coniques qui touchent à la fois quatre droites données quelconques ?
Solution. Soient prises deux quelconques des droites données pour
axes des coordonnées, et soient les équations des deux autres
ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1.\qquad {\frac {x}{a'}}+{\frac {y}{b'}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae392432723226e16064db057b0e5e739f0f498c)
Supposons que l’équation (1) soit celle des courbes dont il s’agit ; parce que ces courbes doivent toucher les deux axes, les équations (4, 5) auront lieu ; on exprimera ensuite que ces courbes touchent les deux autres droites, en exprimant que l’équation (3) a lieu, ainsi qu’une autre équation que l’on déduirait de celle-là en y changeant respectivement
en
mais, en vertu des conditions (4, 5), ces équations se simplifient et deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}a\ \ b\ \left(C^{2}-AB\right)+2a\ (A'C-AB')+2b\ (B'C-BA')+2(CC'-A'B')=0,&\\a'b'\left(C^{2}-AB\right)+2a'(A'C-AB')+2b'(B'C-BA')+2(CC'-A'B')=0.&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588a36d1f88062a2cf0961d25de06189afd27b4e)
En y substituant pour les deux binômes ![{\displaystyle A'C-AB',\ B'C-BA'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb684dd0a0f8b69fd5353594f4971ec4da7f1fd)