381
RÉSOLUES.
![{\displaystyle bx'+ay'-ab=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e28a93b7f0472910ba66fc184207483903fb9a)
éliminant donc
entre ces trois dernières équations, il viendra pour l’équation qui exprime la condition demandée
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}a^{2}b^{2}\left(C^{2}-AB\right)+2a^{2}b(A'C-AB')+\ \ \ a^{2}\left(A'^{2}-AC'\right)&\\+2ab^{2}(B'C-BA')+2ab(CC'-A'B')&\\+\quad b^{2}\left(B'^{2}-BC'\right)&\\\end{aligned}}\right\}=0.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f316b6eb3811000eee648fbcaf13ddd6218049)
(3)
Si la droite donnée était l’axe des
ou celui des
on aurait, dans le premier cas,
et dans le second
ce qui
réduirait la condition à
![{\displaystyle A'^{2}-AC'=0,\quad (\mathrm {4} )\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6000fe9d01a627f6b46a98ddfede58d8f056bf3e)
ou
![{\displaystyle \quad B'^{2}-BC'=0.\quad (\mathrm {5} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb26441736eb9a4ce571bc48c621b1546f631fe3)
Si, après avoir changé respectivement
en
on
suppose ensuite
la droite passera par l’origine, et aura pour
équation
![{\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad0a379754b6291326a7002eb1ac198a7a47978)
(6)
en faisant les mêmes transformations dans l’équation (3), elle devient
![{\displaystyle a^{2}\left(A'^{2}-AC'\right)+2ab(CC'-A'B')+b^{2}\left(B'^{2}-BC'\right)=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf536177527c7bd95c8a648e124b44adb8a5305)
(7)
c’est donc là l’équation de condition qui exprime que la droite (6) est tangente à la courbe (1).
Si, de plus, la courbe (1) passait elle-même par l’origine, qui
serait alors le point de contact, on aurait
ce qui réduirait la condition (7) à celle-ci :
![{\displaystyle aA'-bB'=0.\qquad (8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa31304041f65984c114ba129fee361ea59b829)