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RÉSOLUES.
Solution du premier des deux problèmes de combinaisons
proposés à la page 204 de ce volume ;
Par
M. Frédéric Sarrus, docteur ès sciences.
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PROBLÈME. De combien de manières peut-on choisir n lettres parmi m lettres, desquelles il s’en trouve un nombre
égales à a, un nombre
égales à b, un nombre
égales à c, et ainsi de suite ? ou, en d’autres termes, combien le monôme
dans lequel
admet-il de diviseurs de
dimensions ?
Solution. On sait que tous les termes et les seuls termes du
produit
![{\displaystyle \left(1+a+a^{2}+\ldots +a^{\alpha }\right)\left(1+b+b^{2}+\ldots +b^{\beta }\right)\left(1+c+c^{2}+\ldots +c^{\gamma }\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192d34ef657901bef34c99a3df7f48889892ba11)
sont les diviseurs du monôme
lesquels ne s’y trouvent chacun qu’une seule fois ; d’où il résulte que les diviseurs de
dimensions de ce monôme sont les termes de
dimensions du produit dont il s’agit.
Or, si l’on pose
auquel cas ce même
produit deviendra
![{\displaystyle \left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\alpha }\right)\left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\beta }\right)\left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\gamma }\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e573d2129a2d8eee89c36ce7eb03a46ea77178)
ou encore
![{\displaystyle {\frac {1-x^{\alpha +1}}{1-x}}.{\frac {1-x^{\beta +1}}{1-x}}.{\frac {1-x^{\gamma +1}}{1-x}}\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6817579984c903ce78c20f09145b0be16086e0e)