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RÉSOLUES.
![{\displaystyle {\begin{array}{lcr}1.9+2.90+3.900+4.9000\ \ \ldots \ldots \ldots &=&38889,\\1.9+2.90+3.900+4.9000+5.90000&=&488889,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db2543f91b7d15299bea31e1c3adea164f100ff)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de sorte qu’on est conduit à soupçonner que le nombre unique à retrancher pourrait bien être, en général, un nombre terminé par
précédé d’une suite de
précédés eux-mêmes d’un nombre d’autant d’unités qu’il y a de
à sa droite.
Pour changer ce soupçon en certitude, désignons généralement
par
la somme qu’on obtient pour la série, lorsqu’on y admet
termes, et supposons que la loi se soit soutenue pour toutes les
sommes de termes, jusqu’à la somme des
premiers inclusivement ; nous aurons ainsi
![{\displaystyle S_{m-1}=9+80\left(1+10+10^{2}+10^{3}+\ldots +10^{m-4}+10^{m-3}\right)+(m-2)10^{m-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98ec8b3d1d0c320a60eec0c4baa44f2b1dda260)
or,
![{\displaystyle S_{m}=S_{m-1}+m.9.10^{m-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2a4c133c967506b555e0827acc5abed888235b)
donc
![{\displaystyle S_{m}=9+80\left(1+10+10^{2}+10^{3}+\ldots +10^{m-4}+10^{m-3}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fa4a38aca2f8c1f812966ac19d8cb484c520dc)
![{\displaystyle +(m-2)10^{m-1}+m.9.10^{m-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d5874a9689f7d1cc3d6aa1d8d8864ed449d59e)
or,
![{\displaystyle (m-2)10^{m-1}+m.9.10^{m-1}=80.10^{m-2}+(m-1)10^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462c460bda3a5f9fcee34f1cf0b20c719c3be2aa)
donc enfin,
![{\displaystyle S_{m}=9+80\left(1+10+10^{2}+10^{3}+\ldots +10^{m-3}+10^{m-2}\right)+(m-1)10^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b6ede8bff76d8b74cc24197556c8711e20a8c3)
valeur qui ne diffère de celle de
qu’en ce que
y est changé en
Il demeure donc établi que, si la loi se maintient jusqu’à la série de
termes, elle aura lieu également pour une série de
termes ; puis donc qu’elle a lieu pour les séries de
termes, il s’ensuit qu’elle est générale.