311
LINÉAIRES.
étant des fonctions quelconques de
et
une fonction quelconque de
Quoiqu’elle n’ait pas la forme
que nous avons traitée plus haut, il est facile de la lui donner par des facteurs. En effet, on a, par la formule (2),
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z}{\xi \operatorname {d} x}}=m\int {\frac {\omega }{mn}}{\frac {\operatorname {d} (nz)}{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595e6ba3873624cd6f4d82164f6e55d300f96f22)
et
étant des fonctions de
et, par l’introduction des fonctions arbitraires et par les substitutions successives, on en trouve facilement l’intégrale complète
![{\displaystyle z=\psi +\int \xi \operatorname {d} x.m\int {\frac {\omega }{mn}}{\frac {\operatorname {d} (ny)}{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b195d56bf37e205d28e32b253ae29b54ec685350)
![{\displaystyle +\int \xi \int \xi \operatorname {d} x^{2}.m\int {\frac {\omega }{mn}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} y}}\left(mu\int {\frac {\omega }{mn}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} y}}(n\psi )\operatorname {d} y^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe500309863568257d65d6147d488612f7859e02)
![{\displaystyle +m\int \phi \operatorname {d} x+\int \xi \int \phi \operatorname {d} x^{2}.m\int {\frac {\omega }{mn}}\operatorname {d} (mn)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519e5f2bd6e0171539830248426bf599c659f60b)
séries qui se ramènent à la forme finie, par le théorème de Parseval et l’intégration des deux équations du premier ordre à deux variables.
On peut encore intégrer l’équation proposée par une infinité d’intégrales particulières, comme nous l’avons dit plus haut. En effet, si l’on fait
![{\displaystyle z=XY,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719b508d2e64ed830da34507a02a1d916487c997)
on aura
![{\displaystyle \quad Y{\frac {\operatorname {d} X}{\xi \operatorname {d} x}}=Xm\int {\frac {\omega }{mn}}.\operatorname {d} (nY)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01a6518d824c725fc2351336f896739ccf7f7e2)
d’où
![{\displaystyle cX\operatorname {d} x={\frac {\operatorname {d} X}{\xi }},\qquad cd\left({\frac {\operatorname {d} Y}{m}}\right)={\frac {\omega }{mn}}\operatorname {d} (nY)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2623b0b9427ebc34fce3ff48f95cee82b040b5)
de là on conclura facilement, en substituant les valeurs de
et ![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
![{\displaystyle X=e^{c\int \xi \operatorname {d} x},\quad Y=e^{\int {\frac {c\nu +\varpi }{c-\omega }}\operatorname {d} y},\quad z=\int e^{c\int \xi \operatorname {d} x+\int {\frac {c\nu +\varpi }{c-\omega }}\operatorname {d} y}\phi (c)\operatorname {d} c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a66a6d66360765ce047156e0f60601b9b94ea5)