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ÉQUATIONS
et
étant des fonctions indéterminées de
Faisant, pour abréger,
et observant que
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} \nu }},\qquad {\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} \nu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32df2266112d81b93e465389aa1b1cb69ad6bc5)
on aura, pour déterminer
et
les équations à deux variables
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} \nu ^{2}}}+(t+p+q){\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} \nu }}+(tp+r)u=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} \nu ^{2}}}+(t+p+q){\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} \nu }}+(tq+r)\omega =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e91ce942f2c5846fb0e2b8813e75f1264269b00)
En faisant
![{\displaystyle u=\operatorname {F} (\nu ,t),\qquad \omega =\operatorname {f} (\nu ,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36fdd2c278b33dca79cc246bcca20c81556e66f3)
et représentant par
des fonctions arbitraires de
on aura
![{\displaystyle z=\int e^{tx}T\operatorname {F} (\nu ,t)\operatorname {d} t+\int e^{ty}T_{1}\operatorname {f} (\nu ,t)\operatorname {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1f384595dbef5889b820ead93cd254264ddc00)
Si la quantité
de la forme générale, était une fonction quelconque de
on trouverait aisément que la série qui la renferme se
ramènerait à l’intégrale de l’équation
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} \nu ^{2}}}+(p+q){\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} \nu }}+rz=s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629bae4edf988a3b3a0b1c276f5e1517ee8c7af9)
sans constantes arbitraires. Il faut observer que ces principes s’appliquent à une équation d’un ordre quelconque, entre un nombre quelconque de variables.
Soit l’équation
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}=\nu {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+\xi \omega {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+\xi \varpi z,\qquad (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23b4084eb621202ef012e23a658be5e631913d6)