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LINÉAIRES.
tion générale du second ordre sous un autre point de vue. Par la méthode que M. Laplace a indiquée, on sait ramener toute équation du second ordre à l’une des formes suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}+p{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+q{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+rz=s,\qquad (\mathrm {A} )\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}\quad +p{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+q{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+rz=s\,;\qquad (\mathrm {B} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c25e1fff7eae4fb2a7dc72fe46d651f04dc841ce)
où
sont des fonctions quelconques de
et
qui se déduisent des variables indépendantes de l’équation proposée par l’intégration de deux équations du premier ordre.
Je commence par la première ; et, en faisant
![{\displaystyle e^{\int p\operatorname {d} y}=n,\quad e^{\int q\operatorname {d} y}=mn,\quad pq+{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}-r=\nu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8629fbd863995b09d05e7cf14e44a1f2f32c7fb)
je lui donne la forme
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left\{m{\frac {\operatorname {d} (nz)}{\operatorname {d} y}}\right\}}{\operatorname {d} x}}=mns+mn\nu z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a80cf3d939f1710781b3564dd5c5e7e1c7cc66a)
On voit que cette équation s’intègre immédiatement sous forme finie lorsque
En supposant respectivement
et
fonctions arbitraires de
et
et faisant,
![{\displaystyle {\frac {\psi }{n}}+{\frac {1}{n}}\int {\frac {\phi }{m}}\operatorname {d} y+{\frac {1}{m}}\int {\frac {1}{m}}^{x}\!\int mns\operatorname {d} y\operatorname {d} x=T,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d86b2920c36b0a042b664d78b8d421ee7adf28)
on trouvera
![{\displaystyle z=T+{\frac {1}{n}}^{y}\!\int {\frac {1}{m}}^{x}\!\int mn\nu z\operatorname {d} y\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c2984ae683201b8acd4debfb89a4ec07ae5f98)
c’est-à-dire,