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ÉQUATIONS
![{\displaystyle \operatorname {f} A_{m+1}=A_{1},\quad \operatorname {f} A_{m+2}=A_{2},\quad \operatorname {f} A_{m+3}=A_{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1902cf3cb243e9ec5060ef4f07d7b05be334c2cc)
les relations entre
étant des équations ordinaires de l’ordre
pour lesquelles il s’agit seulement d’avoir une intégrale particulière ; désignant donc par
la fonction inverse de
on aura ainsi
![{\displaystyle A_{m+1}={\frac {1}{\operatorname {f} }}A_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc18ae1e9cb167dc86b81af8859a8b2e24dcf26)
et l’intégrale complète
![{\displaystyle {\begin{aligned}z&=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+\ldots +A_{m}B_{m}\\&+\phi B_{1}.{\frac {1}{\operatorname {f} }}A_{1}+\phi B_{2}.{\frac {1}{\operatorname {f} }}A_{2}+\ldots +\phi B_{m}.{\frac {1}{\operatorname {f} }}A_{m}\\&+\phi ^{2}B_{1}.{\frac {1}{\operatorname {f} ^{2}}}A_{1}+\phi ^{2}B_{2}.{\frac {1}{\operatorname {f} ^{2}}}A_{2}+\ldots \\&+\phi ^{3}B_{1}.{\frac {1}{\operatorname {f} ^{3}}}A_{1}+\ldots \\&+\ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103897146b08cd89edd8d43f2e0b171710607d2c)
et
étant la même chose que
et
et ainsi des autres.
Par le théorème de Parseval, on peut encore ramener chacune des séries
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1}B_{1}+\phi B_{1}.{\frac {1}{\operatorname {f} }}A_{1}+\phi ^{2}B_{1}.{\frac {1}{\operatorname {f} ^{2}}}A_{1}+\ldots ,\\&A_{2}B_{2}+\phi B_{2}.{\frac {1}{\operatorname {f} }}A_{2}+\phi ^{2}B_{2}.{\frac {1}{\operatorname {f} ^{2}}}A_{2}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de2dda22cb633b1b917bf2ecadb70546e1b3eec)
à ne dépendre que de celles-ci :