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LINÉAIRES.
étant seulement fonctions des variables indépendantes renfermées dans
et
des fonctions des variables indépendantes renfermées dans
mais on voit, en même temps, que cette forme ne peut être générale que lorsque
ou
ne contient qu’une seule variable indépendante ; car l’intégrale générale doit contenir des fonctions arbitraires de toutes les variables indépendantes moins une, ce qui n’est possible ici que dans le cas que nous avons indiqué. C’est pourquoi je suppose que
ne contient qu’une seule variable indépendante, et alors l’intégrale peut être générale, comme on s’en assurera facilement par le principe des substitutions successives ; mais aussi je ferai voir qu’on peut satisfaire à l’équation proposée de beaucoup d’autres manières. En effet, pour déterminer les quantités ![{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd6789fe64bcb0bd5496cedc5cdfc14fb30df6fe)
on n’a que la condition
![{\displaystyle A_{1}\phi B_{1}+A_{2}\phi B_{2}+\ldots +A_{m}\phi B_{m}+\ldots =B_{1}\operatorname {f} A_{1}+B_{2}\operatorname {f} A_{2}+\ldots B_{m}\operatorname {f} A_{m}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0b9c6b6b9b2390df3d478f4f8be59e31a92cf6)
Or, pour avoir l’intégrale complète, il faut avoir
fonctions arbitraires,
étant l’ordre de l’équation proposée ; il faut donc absolument qu’un nombre
des quantités
soient indéterminées,
étant seulement fonctions d’une variable, ce qui est impossible, à moins qu’on n’ait
![{\displaystyle \operatorname {f} A_{1}=0,\ \operatorname {f} A_{2}=0,\ldots \operatorname {f} A_{m}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2618ea0cb0b789b6a1b4015dfc0e5f5a9e089d0a)
conditions qui introduisent
constantes arbitraires, assujetties seulement à ne pas rendre égales entre elles deux des quantités
Il s’agit donc seulement de satisfaire aux équations
![{\displaystyle A_{1}\phi B_{1}=B_{m+1}\operatorname {f} A_{m+1},\qquad A_{2}\phi B_{2}=B_{m+2}\operatorname {f} A_{m+2},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51cd080719512312f88167a426a50ba6af816f14)
ce à quoi on parvient facilement en supposant
![{\displaystyle B_{m+1}=\phi B_{1},\quad B_{m+2}=\phi B_{2},\quad B_{m+3}=\phi B_{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191d43a4146c14c6f500fba12746ecf0ac5bd232)