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ÉQUATIONS
![{\displaystyle X_{1}y=a_{0}+a_{1}x+\int ^{2}X_{1}R\operatorname {d} x^{2}-\int ^{2}X_{2}X_{1}y\operatorname {d} x^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7af13cd75c6cc9703a6ad0907024d365ee6cd9)
d’où, en posant
![{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\int ^{2}X_{1}R\operatorname {d} x^{2}=U,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a32d85aceb296595b1f92b495ac741816e0ff5)
on tirera
![{\displaystyle y={\frac {1}{X_{1}}}\left(U-\int ^{2}X_{2}U\operatorname {d} x^{2}+\int ^{2}X_{2}\int ^{2}X_{2}U\operatorname {d} x^{4}-\int ^{2}X_{2}\int ^{2}X_{2}\int ^{2}X_{2}U\operatorname {d} x^{6}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/057d8c7dfa76464a6f3ad59568273da0ec7a5ea6)
Si les fonctions
sont soumises à la seule condition de rendre
égale à une constante
on trouve facilement
![{\displaystyle y={\frac {1}{X_{1}}}\left\{\operatorname {Sin} .(\alpha x+\beta )+\operatorname {Sin} .cx\int {\frac {1}{\operatorname {Sin} .^{2}cx}}\int \operatorname {Sin} .cx.X_{1}R\operatorname {d} x^{2}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a5396a55df8979064a4c55bfa4cf4f839037ed)
et
étant de nouvelles constantes arbitraires.
On pourrait encore parvenir à un grand nombre d’autres formules ; mais, ces recherches n’ayant aucune difficulté, d’après ce
qui précède, je ne donnerai plus qu’un seul exemple, dont l’emploi devient nécessaire dans des cas particuliers, comme je le ferai
voir ensuite. En mettant l’équation proposée sous la forme
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+p{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+qy=r+s\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+p_{1}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+q_{1}y\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e77f66d19e7092fbeb99045e751815667c276b)
et supposant d’ailleurs que chacun des deux membres s’intègre facilement, on fera
![{\displaystyle {\frac {1}{X_{2}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left(X_{1}y\right)\right)=r+{\frac {s}{Z_{2}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left(Z_{1}y\right)\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0bc6981fd329ad4a3059b6ac3fac475bc0a9cbf)
d’où