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ÉQUATIONS LINÉAIRES.
On voit cependant que la valeur de
restera, en général,
très compliquée, à moins que
et
ne soient linéaires par
rapport à
, ce qui embrasse déjà une classe d’équation
étendue et très-importante : celle des équations linéaires.
On a, dans ce cas,
![{\displaystyle y=X+{\frac {1}{\phi }}\operatorname {f} X+{\frac {1}{\phi }}\operatorname {f} \left({\frac {1}{\phi }}\operatorname {f} X\right)+{\frac {1}{\phi }}\operatorname {f} \left({\frac {1}{\phi }}\operatorname {f} \left({\frac {1}{\phi }}\operatorname {f} X\right)\right)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132081d121ddb1b9dabef0ba6739b91dd1d00798)
et je me propose d’en exposer les principales conséquences, en commençant par la partie la plus simple, qui sert en même temps de base au reste.
§. I.
Des équations différentielles à deux variables.
Le résultat le plus général qu’on ait obtenu sur ces équations, est le théorème de Lagrange, au moyen duquel on sait ramener
l’équation la plus générale à une autre qui ne renferme pas de
terme indépendant de la fonction inconnue. De plus, on intègre
sans difficulté, par des fonctions exponentielles ou algébriques les
équations de la forme
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{n}y}{\operatorname {d} x^{n}}}+a{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}y}{\operatorname {d} x^{n-1}}}+b{\frac {\operatorname {d} ^{n-2}y}{\operatorname {d} x^{n-2}}}+\ldots +g{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+hy=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fed4b1b90d2adc4e795d566d6b821314094a25b)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{n}y}{\operatorname {d} x^{n}}}+{\frac {a}{x}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}y}{\operatorname {d} x^{n-1}}}+{\frac {b}{x^{2}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-2}y}{\operatorname {d} x^{n-2}}}+\ldots +{\frac {g}{x^{n-1}}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {h}{x^{n}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc8d021a9ac5e1f0654d4b870a602b3203b8ad9)
et par des intégrales définies celles de la forme
![{\displaystyle (a_{0}+b_{0}x){\frac {\operatorname {d} ^{n}y}{\operatorname {d} x^{n}}}+(a_{1}+b_{1}x){\frac {\operatorname {d} ^{n-1}y}{\operatorname {d} x^{n-1}}}+(a_{2}+b_{2}x){\frac {\operatorname {d} ^{n-2}y}{\operatorname {d} x^{n-2}}}+\ldots +(a_{n}+b_{n}x)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d87573a9e1806291431e4fd08618b072043385)
mais les méthodes qu’a donné Euler pour intégrer les équations,