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DE DIOPTRIQUE.
![{\displaystyle Tang.\mathrm {XIL} ={\frac {\sqrt {k^{2}+m^{2}z^{2}}}{nz}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43706777953e6dc3866235f181206d15f1ba7fe6)
En conséquence, l’équation du rayon réfracté ou, pour mieux dire, l’équation générale de tous les rayons réfractés relatifs au point
sera
![{\displaystyle y=-{\frac {\sqrt {k^{2}+m^{2}z^{2}}}{nz}}(x-z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91c11b6fe270822381e6e6187d1c5ef098ea82c)
équation dans laquelle
est un paramètre tout-à-fait indéterminé.
21. Il faudrait donc, pour en conclure l’équation de la caustique
relative au point
éliminer
entre cette équation et sa différentielle, prise uniquement par rapport à
mais cette équation ne
différant de sa correspondante (4), relative à la première hypothèse,
qu’en ce que
et
s’y trouvent respectivement changés en
et
nous obtiendrons immédiatement la caustique cherchée, en
faisant un pareil changement dans l’équation (5) de la caustique qui
répond au premier cas, laquelle deviendra ainsi
![{\displaystyle \left({\frac {ny}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}-\left({\frac {mx}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382292e02cd40e55728da28ba40e79f16ed893fe)
21. Or, il résulte de ce qui a été dit (6) que l’équation d’une
hyperbole étant
![{\displaystyle \left({\frac {y}{b}}\right)^{2}-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/819c8a28158d0180da5b5ad012f633dcff20d111)
l’équation de sa développée doit être
![{\displaystyle \left({\frac {by}{b^{2}+a^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}-\left({\frac {ax}{b^{2}+a^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7e96a684eca8e0f82ad9cb642b1f02c9a0ccfd)
donc, notre caustique n’est autre que la développée d’une hyper-