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DES CERCLES, DES SPHÈRES, ETC.
intersections de quatre droites formant encore un quadrilatère complet.
Démonstration. Soient
les quatre sphères dont
il s’agit ; désignons respectivement par
les centres de similitude interne et externe des deux sphères
et soient adoptées des
notations analogues pour toutes nos sphères, prises deux à deux.
D’abord, d’après ce que nous venons de dire (36), les quatre
séries de points
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{rrr}(\mathrm {S} e\mathrm {S} ')\,\ \ ,&(\mathrm {S} 'e\mathrm {S} '')\ ,&(\mathrm {S} ''e\mathrm {S} )\ \,,\\(\mathrm {S} 'e\mathrm {S} '')\ ,&(\mathrm {S} ''e\mathrm {S} '''),&(\mathrm {S} '''e\mathrm {S} '),\\(\mathrm {S} ''e\mathrm {S} '''),&(\mathrm {S} '''e\mathrm {S} )\ \,,&(\mathrm {S} e\mathrm {S} '')\ \,,\\(\mathrm {S} '''e\mathrm {S} )\,\ ,&(\mathrm {S} e\mathrm {S} ')\ \ \ ,&(\mathrm {S} 'e\mathrm {S} '''),\end{array}}\right\}{\begin{array}{c}{\rm {correspondant}}\\{\rm {respectivement}}\\{\rm {aux\ sph{\grave {e}}res}}\end{array}}\left\{{\begin{array}{rrr}{\rm {S\ \ ,}}&{\rm {S'\ ,}}&{\rm {S''\,,}}\\{\rm {S'\ ,}}&{\rm {S''\,,}}&{\rm {S''',}}\\{\rm {S''\,,}}&{\rm {S''',}}&{\rm {S\ \ ,}}\\{\rm {S''',}}&{\rm {S\ \ ,}}&{\rm {S''\,,}}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ecc1bd259ef97bae3ce2ff3ee8537bc6ef0e9a1)
seront sur quatre droites ; or, ces points ne sont qu’au nombre de six ; ils seront donc aux intersections de ces quatre droites, qui conséquemment appartiendront à un même plan ; ces six points seront donc aussi dans ce plan ; ce qui démontre la première partie du théorème.
En outre, d’après cette même proposition (36), les quatre
séries de points
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{rrr}(\mathrm {S} e\mathrm {S} ')\ \ ,&(\mathrm {S} 'e\mathrm {S} '')\ ,&(\mathrm {S} ''e\mathrm {S} )\ \ \,,\\(\mathrm {S} e\mathrm {S} ')\ \ ,&(\mathrm {S} i\mathrm {S} ''')\,\ ,&(\mathrm {S} 'i\mathrm {S} ''')\ ,\\(\mathrm {S} 'e\mathrm {S} ''),&(\mathrm {S} 'i\mathrm {S} ''')\,,&(\mathrm {S} ''i\mathrm {S} '''),\\(\mathrm {S} ''e\mathrm {S} )\ ,&(\mathrm {S} ''i\mathrm {S} '''),&(\mathrm {S} i\mathrm {S} ''')\ \ ,\\\end{array}}\right\}{\begin{array}{c}{\rm {correspondant}}\\{\rm {respectivement}}\\{\rm {aux\ sph{\grave {e}}res}}\\\end{array}}\left\{{\begin{array}{rrr}{\rm {S\ \ ,}}&{\rm {S'\ ,}}&{\rm {S''\,,}}\\{\rm {S\ \ ,}}&{\rm {S'\,,}}&{\rm {S''',}}\\{\rm {S'\,,}}&{\rm {S'',}}&{\rm {S''',}}\\{\rm {S'',}}&{\rm {S\ \ ,}}&{\rm {S''',}}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f126d6fbecbd7af06adbbc4e2c5b03a74d33c218)
seront en lignes droites ; or, ces points ne sont qu’au nombre de six seulement ; ils sont donc aux intersections de ces quatre droites, formant conséquemment un quadrilatère complet ; ces six points sont donc dans un même plan ; ce qui démontre la seconde partie du théorème.
Enfin, et toujours d’après la même proposition (36) ; les quatre
séries de points