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RÉSOLUES.
Si l’on pose ensuite
étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité, en observant que
et divisant par
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{\varpi }}={\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{8}}+{\frac {1}{16}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{16}}+\ldots ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee98253116cdec9ba3680542f4517c1046067731)
(II)
qui est précisément la formule à démontrer.
M. Sarrus observe que ces deux séries, l’une et l’autre très-régulières, convergent rapidement toutes deux vers des progressions
décroissantes par quotiens ayant
pour raison ; de sorte qu’en prenant pour
un très-grand nombre, la dernière, par exemple, pourra être sensiblement remplacée par cette formule finie
![{\displaystyle {\frac {1}{\varpi }}={\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{8}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n}}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2^{n}}}+{\frac {2}{3.2^{n}}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2^{n+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e48c9a94d4c0eda6e9bb229f9f2649ed4fd76f)
L’anonyme, au contraire, parvient à son but par un procédé
tout-à-fait analitique, et conséquemment inverse de celui de M. Sarrus. Il cherche généralement quelle fonction, finie peut être équivalente à la série infinie
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{8}}+{\frac {1}{16}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{16}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a63e9c048deb44718d33f02becf50ee722eaad9)
où
désigne un arc quelconque. Posant donc cette série égale une certaine variable
multipliant par
et intégrant, il obtient
![{\displaystyle \int y\operatorname {d} x=C-\left\{\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{16}}+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b8de22b21c602588f630ce431de427f1cbb889)
ou bien