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PROBLÈMES.
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\{(m-1)+(m-7)+(m-13)+(m-19)+\ldots +10+4\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2e790f2f8dd5a038714ff3b9c98e16210d7cc7)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\{(m-5)+(m-11)+(m-17)+(m-23)+\ldots +12+6\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05896342ef6358bd1947339e20c497b18b1310c9)
c’est-à-dire, en deux progressions dont la raison commune est
et dont le nombre des termes est
pour la première, et
pour la seconde ; on aura donc, pour la réunion des sommes de leurs termes
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}.\left\{{\frac {m+1}{6}}.{\frac {m+3}{2}}+{\frac {m-5}{6}}.{\frac {m+1}{2}}\right\}={\frac {(m-1)(m+1)}{12}}={\frac {m^{2}-1}{12}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc5c8220a56761b66ead257f24af235d0ca5993)
et ce sera là le nombre des solutions du problème.
En résumant présentement ces divers résultats, et observant que
les formes
rentrent respectivement dans
les formes ![{\displaystyle 6k-3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c148285f569e55f5ce134ee52ec18dcf430c625)
nous pourrons dire que le nombre
des manières de faire trois parts effectives avec
choses, toutes
égales entre elles, est
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\text{Si }}m{\text{ est de la forme }}6k\quad ,&\ldots \ldots \ \ {\frac {m^{2}}{12}},\\\\{\text{Si }}m{\text{ est de la forme }}6k\pm 1,&\ldots \ldots {\frac {m^{2}-1}{12}},\\\\{\text{Si }}m{\text{ est de la forme }}6k\pm 2,&\ldots \ldots {\frac {m^{2}-4}{12}},\\\\{\text{Si }}m{\text{ est de la forme }}6k\pm 3,&\ldots \ldots {\frac {m^{2}+3}{12}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978b60fc0e759871174de3a63a2a56a4325489ea)
On peut désirer de connaître combien il y a de systèmes dans
lesquels plusieurs parts sont égales et combien il y a de parts
égales dans chacun de ceux-là. Pour cela, remarquons que, d’abord
les trois parts ne sauraient être égales qu’autant que
est de l’une
ou l’autre des deux formes
et cela ne saurait arriver
qu’une seule fois.