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DE COMBINAISON.
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\{(m-1)+(m-5)+(m-7)+(m-11)+(m-13)+\ldots +4+2\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56be2b6802f36361575b4e84b42beddb3f61b41)
laquelle se décompose en ces deux-ci :
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\{(m-1)+(m-7)+(m-13)+(m-19)+\ldots +8+2\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c4fa3109bede389a75bf74019eebb383bca9a4)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\{(m-5)+(m-11)+(m-17)+(m-23)+\ldots +10+4\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89abd4f67c2ac10969e99afb220bedc792cb668b)
c’est-à-dire, en deux progressions par différences dont
est la raison commune et dont le nombre des termes est
pour la première, et
pour la seconde ; leurs sommes de termes réunies donneront donc
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}.\left\{{\frac {m+3}{6}}.{\frac {m+1}{2}}+{\frac {m-3}{6}}.{\frac {m-1}{2}}\right\}={\frac {m^{2}+3}{12}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c583cbaeb6445dd93e2930b9de97ee388711029)
et ce sera là le nombre des solutions du problème.
Si enfin
toujours impair, est de la forme
le dernier
tableau aura deux lignes qui seront
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}2k+1,&2k+1,&2k+3,\\2k+1,&2k+2,&2k+2,\end{array}}\right\}\quad {\text{ou}}\quad \left\{{\begin{array}{lll}{\frac {m-2}{3}},&{\frac {m-2}{3}},&{\frac {m+4}{3}},\\{\frac {m-2}{3}},&{\frac {m+1}{3}},&{\frac {m+1}{3}}\,;\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689cfccfe87c6a6ae827896a7253e9a4f358c4c8)
le nombre des termes de la série sera donc
et son dernier terme sera
ou
; cette série sera donc
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\{(m-1)+(m-5)+(m-7)+(m-11)+(m-13)+\ldots +6+4\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a18721f236236e12e5d4ccd1389e6a0b85cec5)
laquelle se décompose en ces deux-ci :