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PROBLÈMES.
Pour le cas d’une part unique
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \ +1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c81aace6b9ee72fb375779d92195969e54d105)
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}{\text{de }}2&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad 2^{m}-2,\\{\text{de }}3&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \ 3^{m}-3.2^{m}+3,\\{\text{de }}4&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 4^{m}-4.3^{m}+6.2^{m}-4,\\{\text{de }}5&\ldots \ldots \ldots \quad 5^{m}-5.4^{m}+10.3^{m}-10.2^{m}+5,\\{\text{de }}6&\ldots 6^{m}-6.5^{m}+15.4^{m}-20.3^{m}+15.2^{m}-6,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4cd52f64c03e2ae413e75953139214e50548312)
or, la loi de ces résultats est manifeste, et l’on ne peut conclure de suite, comme il serait d’ailleurs facile de s’en assurer par une induction rigoureuse, que l’on peut distribuer en
parts
choses toutes différentes les unes des autres, de manière à ce qu’aucune part ne soit nulle, d’un nombre de manières exprimé par
![{\displaystyle n^{m}-{\tfrac {n}{1}}.(n-1)^{m}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}(n-2)^{m}-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}(n-3)^{m}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d57c27ffaf9e13570307824130b32cbae3290f)
![{\displaystyle \pm {\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}2^{m}\mp {\tfrac {n}{1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038e0d6da2ca28c5fb199e0a244f398f45d3f6bd)
pourvu toutefois que l’on admette comme systèmes différens ceux-là même où les mêmes parts ne sont simplement que transposées.
Avant d’aller plus loin, observons que, comme il est impossible
de faire
parts effectives avec un nombre de choses inférieur à
et que comme, d’un autre côté, les diverses manières de faire
parts avec
choses ne sont que les diverses manières de permuter ces choses entre elles ; il s’ensuit qu’on doit avoir
![{\displaystyle n-{\tfrac {n}{1}}.(n-1)+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}(n-2)-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}(n-3)+\ldots \pm n=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e8e31dc8631c2d5fc0c642ddc8c8ad614e3f55)