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PROBLÈMES.
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}\qquad 3&\ldots {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\left(3^{m-3}-3.2^{m-3}+3\right),\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dba075301c227527ac22a7aaf6b5d7dc6b76ffb)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}m-2&\ldots \ldots \ldots \ldots {\frac {m}{1}}.\,\ {\frac {m-1}{2}}\left(3^{2}-3.2^{2}+3\right),\\\\m-1&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad \,\ {\frac {m}{1}}\left(3-3.2+3\right).\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2877eae98a8fc4e751f5039f6ba5ab8771d60d)
À la vérité, lorsqu’on doit repartir
choses en quatre parts, la première part n’en saurait admettre
ni même
mais aussi arrive-t-il que les facteurs
et
qui répondent aux deux derniers cas, sont nuls d’eux-mêmes.
Le nombre total des systèmes possibles de répartition de nos
choses en quatre parts sera donc la somme de toutes ces formules,
laquelle se résout évidemment en ces trois suites
![{\displaystyle {\tfrac {m}{1}}.3^{m-1}+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.3^{m-2}+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {m-2}{3}}.3^{m-3}+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.3^{2}+{\tfrac {m}{1}}.3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0605461604d66e32b014b15d00175424b72b448)
![{\displaystyle -3\left({\tfrac {m}{1}}.2^{m-1}+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.2^{m-2}+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {m-2}{3}}.2^{m-3}+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.2^{2}+{\tfrac {m}{1}}.2\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448feba33a37b3d0050073eef3d85180e3e660da)
![{\displaystyle +3\left({\tfrac {m}{1}}+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {m-2}{3}}+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}+{\tfrac {m}{1}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6820a24e4bf6b463ba1328492867ef6b89afaee)
lesquelles peuvent ensuite être respectivement remplacées par les expressions suivantes
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}+(8+1)^{m}-3^{m}-1&=4^{m}-3^{m}\qquad -1,\\-3\left[(2+1)^{m}-2^{m}-1\right]&=-3.3^{m}+3.2^{m}+3,\\+3\left[(1+1)^{m}-1-1\right]&=\quad \qquad +3.2^{m}-6.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44998fe8f3ffbfc2af622e6c644e7fcb132140ca)