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PROBLÈMES.
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}\qquad 3&\ldots \ {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\left(2^{m-3}-2\right),\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdabf1905c40368ffa89cf0af167242e1c9b7857)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}m-2&\ldots \ldots \ldots \ldots {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\left(2^{2}-2\right),\\m-1&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\frac {m}{1}}.\left(2-2\right),\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b82406c2e4c05002dd0839ab928702095c3e142)
à la vérité, il est impossible d’admettre
choses à la première part, lorsqu’il en faut faire trois ; mais aussi le facteur
réduit à zéro le nombre des systèmes de répartition qui convient à ce cas.
Le nombre total des modes de répartition possibles en trois parts
sera donc la somme de tous ces nombres ; mais cette somme se décompose dans les deux séries que voici
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}2^{m-1}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}2^{m-2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}2^{m-3}+\ldots +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}2^{2}+{\frac {m}{1}}2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fbd1a90eb9f1f0eaa2b48161996995f38ce4e79)
![{\displaystyle -2\left({\frac {m}{1}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}+\ldots +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}+{\frac {m}{1}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125053663147b4a2c0ed6bc3575ed682d17250b7)
la somme de la première est évidemment
![{\displaystyle (2+1)^{m}-2^{m}-1=3^{m}-2^{m}-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2a9db9eccc11901f41ca2a2c165439d173bec6)
et celle de la seconde
![{\displaystyle -2\left[(1+1)^{m}-2\right]=-2.2^{m}+4\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c5727acf9677b5e39a2b492bfb1bb2199eaa67)
réunissant donc ces deux sommes, nous aurons pour le nombre total des systèmes de répartition de nos
choses en trois parts