112
INTÉGRATION
![{\displaystyle 0=\left\{\left[A\left(1-x^{2}\right)+2Bx^{2}\right]+Bxy\right\}+\left\{\left[A'\left(1-x^{2}\right)+2B'x^{2}\right]+B'xy\right\}c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d22a9d0b14792883471a365862cbf533ab9778)
ou encore
![{\displaystyle 0=\left\{(A+A'c)\left(1-x^{2}\right)+2(B+B'c)x^{2}\right\}+(B+B'c)xy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf264aa03cc4f2adb375fbf2aab94ce5871d16c)
ou enfin
![{\displaystyle 0=\left\{{\frac {(A+A'c)}{(B+B'c)}}\left(1-x^{2}\right)+2x^{2}\right\}+xy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae53252434aa3ada0fbc06b99cf591efd778c261)
d’où l’on voit qu’il n’y a plus proprement qu’une seule constante
; en la représentant par
l’équation deviendra simplement
![{\displaystyle 0=\left\{2x^{2}+C\left(1-x^{2}\right)\right\}+xy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db22e5ccfcd07e7b090cfe01f213976e57bb3a72)
d’où
![{\displaystyle y=-{\frac {2x^{2}+C\left(1-x^{2}\right)}{x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3dbbd07e5a0548b4ec30480dd6fc519a2cae44)
qui est en effet l’intégrale de l’équation différentielle proposée, comme il est facile de s’en convaincre, par la différentiation et l’élimination de la constante
[1]
- ↑ On peut faire, contre cette méthode, l’objection très grave, à ce qu’il nous paraît, que le procédé employé pour intégrer les équations du second ordre en
et
pouvait tout aussi bien, et sans tant de circuit, être immédiatement appliqué à l’équation proposée du premier ordre seulement en
; mais peut-être tout ceci n’est-il encore qu’un provisoire ? peut-être M. Kramp, étendant sa théorie, comme il paraît en avoir le dessein, aux équations des ordres supérieurs, nous enseignera-t-il dans quelque mémoire subséquent, à intégrer généralement et rigoureusement les équations de la forme
![{\displaystyle G{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+H{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+k=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d2af9f6e7a8c0862870a57722055a7204887647)