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INTÉGRATION
![{\displaystyle p=A+Bx+(2B-A)x^{2}=A\left(1-x^{2}\right)+Bx(1+2x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea99eda20b491722ad3f7472c1ecbc941c4cdbfe)
où
et
sont les deux constantes arbitraires que comporte l’intégrale.
L’équation en
traitée de la même manière, donnera
![{\displaystyle q=A'\left(1-x^{2}\right)+B'x(1-2x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8acc5b389ddfc1f9d3a17fd891e2c47f7890b7a3)
où
et
seront les deux constantes.
18. On tirera de là
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}=-2Ax+B(1+4x),\qquad {\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} x}}=-2A'x+B'(1-4x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42351da79ebaada795710080ccfa06862abf924)
en se rappelant qu’ici
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}2V=&2x-2x^{3};\qquad &R=&1+4x-3x^{2},\qquad &S=&1+4x+x^{2},\\&&R'=&1-4x-3x^{2},&S'=&1-4x+x^{2},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df411f0b187635718467c9f7d3eac917f5823e74)
et substituant (11) dans les équations du premier ordre en
et
il viendra ; en réduisant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(A-A')\left(1-x^{2}\right)-(B+B')x(1-2x)&=0,\\(A-A')\left(1-x^{2}\right)+(B+B')x(1+2x)&=0.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2fd72af3e43a139952f9563a36b8f05136ab38)
Ces relations devant subsister quel que soit
nous ferons successivement
et les deux équations donneront également
![{\displaystyle A'=A,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec62711a1475eccfc401448a8be1dde9a5d5dd1)
de sorte que nous aurons
![{\displaystyle p=A\left(1-x^{2}\right)+Bx(1+2x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0afaa307b17f6455b39937f5ecdff17875ce3090)