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PROBLÈMES DU CONCOURS
et
on aura
Les moitiés de ces deux distances étant prises pour hypothénuses de deux triangles ayant un des côtés de l’angle droit égal à
l’autre côté de l’angle droit de ce triangle sera la valeur de notre radical ; et le reste de la construction ne souffrira plus aucune difficulté.
À cause que
entrent symétriquement dans les équations du
problème, on peut ne prendre que le signe supérieur du radical
dans les valeurs de
on obtiendra ainsi deux solutions du
problème desquelles on déduira facilement les deux autres en observant
que les quatre droites qui le résolvent doivent être, deux
à deux, symétriquement situées par rapport à la droite
À cause de
on voit que, lorsque les quatre valeurs de
seront réelles et inégales, il y en a toujours deux positives
et deux négatives ; ces dernières devant être portées en sens inverse
des premières, il s’ensuit qu’il y a alors deux solutions dans l’angle
tandis que les deux autres sont dans ses deux supplémens.
La figure 2 représente l’ensemble de ces quatre solutions. Les
quatre droites cherchées sont
tellement situées
que l’on a
et l’on a en outre
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {OD} }}^{2}+{\overline {\mathrm {OE} }}^{2}={\overline {\mathrm {OD'} }}^{2}+{\overline {\mathrm {OE'} }}^{2}={\overline {\mathrm {O} d}}^{2}+{\overline {\mathrm {O} e}}^{2}={\overline {\mathrm {O} d'}}^{2}+{\overline {\mathrm {O} e'}}^{2}=b^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ee7fe07c4b60d08a65a23c690d87a6366378ac)
Tant que
sera plus petit que
il sera, à plus forte
raison, plus petit que
et le problème admettra quatre
solutions distinctes. Si l’on a
ou
![{\displaystyle 2a={\sqrt {b^{2}+a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }}-a\operatorname {Cos} .\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b7ba92c2da004479bf62c6e66737d3c2535b26a)
ou, en chassant le radical,
![{\displaystyle b^{2}=4a^{2}(1+\operatorname {Cos} .\alpha )=8a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}\alpha =2{\overline {\mathrm {AO} }}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f359718b12443174358c103ec967988cbaef46ed)
ou enfin
![{\displaystyle b=\mathrm {AO} {\sqrt {2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10af0eaaaf67494991831929eb86bd076d2a068)