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DES COLLÈGES ROYAUX DE PARIS.
ces deux inconnues sont donc racines d’une même équation du second degré, et, puisque
a déjà deux valeurs, le problème a quatre solutions. On voit, au surplus, qu’à cause de la symétrie de la figure, ces quatre solutions se réduisent réellement à deux.
Soit abaissée du point
la perpendiculaire
sur
et désignons
par
nous aurons
![{\displaystyle c=\mathrm {AI} =a\operatorname {Cos} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee322f5160839112d2737e9aaa1cfbd6089eacaf)
d’où
![{\displaystyle x+y=c\pm {\sqrt {b^{2}+c^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03dd9f4174aaaa1592bd16a1fd1c6c112c51d1a6)
Prolongeons
jusqu’en
au-delà de
de manière qu’on ait
en menant
et en représentant par
la longueur de
cette droite, nous aurons
![{\displaystyle d=\mathrm {AG} ={\sqrt {b^{2}+c^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c6af6a8e32f5981b47b265b9c7bc25c4fea1d8)
ce qui donnera
![{\displaystyle x+y=c\pm d\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba8ec53acd3413a0260be73d4ffdfb39fedc3693)
équation fort simple, qu’il faudra combiner avec (2), pour avoir ![{\displaystyle x,y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77d7666805efdcacb56a97f22e2ee4a92dd6ee5)
L’élimination de
entre ces deux équations donnera, comme
l’on sait,
![{\displaystyle x^{2}-(c\pm d)x+a^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6acbca659d5e39ff282475b6b0e111518c392d3)
d’où
![{\displaystyle x={\frac {1}{2}}(c\pm d)\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}(c\pm d)^{2}-a^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ef1484d0113cec0e5f12d6b5cc8084fd2c75b1)
et l’on aurait semblablement
![{\displaystyle y={\frac {1}{2}}(c\pm d)\mp {\sqrt {{\frac {1}{4}}(c\pm d)^{2}-a^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01888e5d40cd13f99dd6aca455b1e5c9b9955178)
Si l’on porte
sur
de part et d’autre du point
en