finir par rendre tous les termes positifs ; parce que les termes de la série, au lieu de décroitre, comme à la rencontre d’une branche, croissent ici et décroissent alternativement, avec ou Ainsi, la disparition des variations avertit bientôt qu’il n’y a point de racines réelles positives à chercher.
Après avoir dissipé les scrupules du géomètre auteur du problème, je vais ajouter quelques remarques propres à éclairer et à simplifier l’usage de la méthode.
Remarque I. Quelques auteurs (Legendre, Supplément à la théorie des nombres) disent qu’après avoir trouvé une racine approchée il faut diviser la proposée par et chercher les racines du quotient. Ce procédé est très-vicieux ; parce qu’en négligeant le reste de la division, on altère le quotient qui n’est plus exact. Son défaut d’exactitude peut changer des racines imaginaires en racines réelles, égales ou inégales et vice versâ ; et l’on sent que cela arrivera sur-tout quand l’axe de la courbe passera fort près d’un sommet. Soit par exemple l’équation
on trouvera de suite que en est une racine très-approchée ; car, en la mettant pour l’équation devient or, si l’on divise la proposée par en négligeant le reste, on trouve pour quotient d’où on serait conduit à conclure que, outre la racine déjà trouvée, l’équation a deux autres racines réelles, égales à tandis que ses deux autres racines sont imaginaires, comme il est aisé de le vérifier.
Si la proposée était en prenant pour valeur approchée de l’une des racines, ce qui réduit le premier membre à et opérant comme ci-dessus ; on trouverait encore les deux autres racines égales à tandis que les trois racines de cette équation sont inégales.
Il serait aisé de former d’autres équations plus élevées où le
