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ÉQUILIBRE
mais, par le théorème de M. Carnot[1], on a
![{\displaystyle f^{2}+f'^{2}+f''^{2}-2f'f''\operatorname {Cos} .(f',f'')-2f''f\operatorname {Cos} .(f'',f)-2ff'\operatorname {Cos} .(f,f')=f'''^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c366a15ba92968ff0f85456e60f986e23d9787d5)
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}f\ \ -f'\,\operatorname {Cos} .(f,f'\ \ )-f''\operatorname {Cos} .(f'',f)&=f'''\operatorname {Cos} .(f,f'''),\\f'\,-f''\operatorname {Cos} .(f',f'')-f\operatorname {Cos} .(f,f')&=f'''\operatorname {Cos} .(f',f'''),\\f''-f\ \ \operatorname {Cos} .(f'',f\ )-f'\operatorname {Cos} .(f',f'')&=f'''\operatorname {Cos} .(f'',f''').\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/933ce9ec6ab2d0101b66089be3b1a1c2b52902fa)
substituant donc, il viendra
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&r^{2}&=&\lambda ^{2}f'''^{2}=p'''^{2}\,;\\&\operatorname {Cos} .\theta &=&{\frac {\lambda }{r}}f'''\operatorname {Cos} .(f,f''')&=-\operatorname {Cos} .(p,p'''),\\&\operatorname {Cos} .\theta '&=&{\frac {\lambda }{r}}f'''\operatorname {Cos} .(f',f''')&=-\operatorname {Cos} .(p',p'''),\\&\operatorname {Cos} .\theta '''&=&{\frac {\lambda }{r}}f'''\operatorname {Cos} .(f'',f''')&=-\operatorname {Cos} .(p'',p''').\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64f0535886836b8b9b01203c3d41cde9e0eccb0)
La résultante
des trois forces
est donc égale à
, et dirigée suivant la même droite ; et comme il est d’ailleurs évident qu’elle agit en sens contraire de
il s’ensuit que les quatre forces
sont en équilibre.
On étendrait sans peine cette proposition et le calcul qui l’appuie
à un polyèdre quelconque ; mais ici la difficulté consiste en ce
que, en général, les perpendiculaires menées aux plans des faces
- ↑ Voyez les pages 139, 140 du II.e volume du présent recueil.