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DES FONCTIONS POLYNOMES.

${\frac {\operatorname {d} ^{p}A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}^{p}}}={\frac {\operatorname {d} ^{p}A_{m-p\alpha }}{\left(\operatorname {d} a_{n-\alpha }\right)^{p}}}.$

Maintenant, on a

$A_{m}=A_{m}+a_{n}{\frac {\operatorname {d} A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}}}+{\frac {a_{n}^{2}}{2!}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}^{2}}}+{\frac {a_{n}^{3}}{3!}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}^{3}}}+\ldots$

pourvu qu’après les différenciations on fasse $a_{n}=0,$ dans les quantités $A_{m},{\frac {\operatorname {d} A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}}},{\frac {\operatorname {d} ^{2}A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}^{2}}},\ldots$ du second membre. L’on aura donc, en vertu de l’équation (9)

$A_{m}=A_{m}+a_{n}{\frac {\operatorname {d} A_{m-\alpha }}{\operatorname {d} a_{n-\alpha }}}+{\frac {a_{n}^{2}}{2!}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}A_{m-2\alpha }}{\left(\operatorname {d} a_{n-\alpha }\right)^{2}}}+{\frac {a_{n}^{3}}{3!}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}A_{m-3\alpha }}{\left(\operatorname {d} a_{n-\alpha }\right)^{3}}}+\ldots \,;$

moyennant les mêmes restrictions ; et comme, dans la dernière équation, les différentiations ne sont plus relatives à $a_{n},$ on trouvera la valeur de $A_{m},$ dans la supposition de $a_{n}$ quelconque, si l’on a les valeurs de $A_{m},A_{m-\alpha },A_{m-2\alpha },\ldots$ dans la supposition de $a_{n}=0,$ sans que pour cela on soit obligé de recommencer les calculs.

Par le moyen des formules précédentes, on pourra s’élever, de proche en proche, à la valeur de $A_{n},$ en fonction de $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots A,$ et des coefficiens différentiels de cette dernière quantité ; mais cette marche, d’ailleurs très-laborieuse, ne serait fondée que sur l’analogie. Voici, pour le même objet, une méthode en même temps plus expéditive et plus rigoureuse.

Si l’on fait, pour abréger,

$t=a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+a_{4}x^{3}+\ldots \,;$

on aura

$y=a+tx\,;\quad$et$\quad u=\operatorname {f} (a+tx)\,;$

ou bien, en développant,