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PROBLÈME

Ce calcul ne présente rien de difficile, mais il conduit des formules finales extrêmement compliquées.

Pour troisième exemple, supposons que la courbe $S'$ soit un cercle, ayant $g,h$ pour les coordonnées de son centre ; en posant toujours l’origine en ${\rm {P',}}$ son équation sera

$(x'-g)^{2}+(y'-h)^{2}=r^{2},$

en y mettant pour $x',y'$ leurs valeurs en $x,y,$ elle deviendra

$\left.{\begin{aligned}&2(gy-hx)\operatorname {Sin} .(T+t)+2ah\operatorname {Sin} .T+2ay\operatorname {Sin} .t\\+&2(gx+hy)\operatorname {Cos} .(T+t)-2ag\operatorname {Cos} .T+2ax\operatorname {Cos} .t\end{aligned}}\right\}=x^{2}+y^{2}+g^{2}+h^{2}+a^{2}-r^{2}.$

Faisant, dans cet exemple, comme dans le précédent elle deviendra

$\left.{\begin{aligned}&2(gy-hx)\operatorname {Sin} .nt+2ah\operatorname {Sin} .(n-1)t+2ay\operatorname {Sin} .t\\+&2(gx+hy)\operatorname {Cos} .nt-2ag\operatorname {Cos} .(n-1)t+2ax\operatorname {Cos} .t\end{aligned}}\right\}=x^{2}+y^{2}+g^{2}+h^{2}+a^{2}-r^{2}.$

La différentielle de cette équation, par rapport à $t,$ sera

$\left.{\begin{aligned}&n(gy-hx)\operatorname {Cos} .nt+(n-1)ah\operatorname {Cos} .(n-1)t+2ay\operatorname {Cos} .t\\-&n(gx+hy)\operatorname {Sin} .nt-(n-1)ag\operatorname {Cos} .(n-1)t+2ax\operatorname {Sin} .t\end{aligned}}\right\}=0,$

Il s’agira donc d’éliminer $t$ entre cette équation et la précédente. Pour cela, on en éliminera d’abord $\operatorname {Sin} .(n-1)t$ et $\operatorname {Cos} .(n-1)t,$ au moyen des formules

${\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .(n-1)t=\operatorname {Sin} .nt-\operatorname {Cos} .nt\operatorname {Sin} .t,\\&\operatorname {Cos} .(n-1)t=\operatorname {Cos} .nt+\operatorname {Sin} .nt\operatorname {Cos} .t\operatorname {Sin} .t\,;\end{aligned}}$

ces équations ne renfermant plus alors que $\operatorname {Sin} .nt,\ \operatorname {Cos} .nt,\ \operatorname {Sin} .t,\ \operatorname {Cos} .t,$ en leur joignant les deux équation.