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À UN TRIANGLE QUELCONQUE.
![{\displaystyle {\begin{aligned}Ang.\mathrm {FDD} '&=Ang.\mathrm {E} ,\\Ang.\mathrm {DEE} '&=Ang.\mathrm {F} ,\\Ang.\mathrm {EFF} '&=Ang.\mathrm {D} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5416a59f9b6e7dffdd7d3ab2f3af2ab9f8f43e7)
alors, en vertu de la proportionnalité des côtés homologues des triangles semblables, les longueurs
seront les diamètres des cercles cherchés, ayant respectivement leurs centres en ![{\displaystyle \mathrm {X,Y,Z.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5f9d7b6e2dc88cc7cbfe889df140500aba7860)
Ces expressions des rayons des cercles une fois trouvées, rien
de plus facile que de leur substituer telles autres inconnues qu’on
voudra. En prenant, par exemple, pour inconnues les distances
des sommets auxquelles les cercles cherchés touchent les côtés du
triangle, ces inconnues seront
et l’on aura
![{\displaystyle ax={\frac {aBC}{2A}},\qquad by={\frac {bCA}{2B}},\qquad cz={\frac {cAB}{2C}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d52b7f63cf4c7aa5aec4ad674798fe225df8414)
Or, d’après les valeurs trouvées ci-dessus pour
et
on a
![{\displaystyle cAB=C\left\{2c-(A+B-C)\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2e6b6c0a51f864344670849934ae656b1c3274)
donc
![{\displaystyle cz={\frac {cAB}{2C}}={\frac {1}{2}}\left\{2c-(A+B-C)\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f43a7cf8f5624f1e858672ed32ebdcee7f452cb)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle cz={\frac {1}{2}}\left(a+b+c-1+{\sqrt {1+c^{2}}}-{\sqrt {1+a^{2}}}-{\sqrt {1+b^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b3baac0a1c543ae9e64b65d31362de45bf0add)
ou encore
![{\displaystyle cz={\frac {1}{2}}\left(AB'+BC'-CA'-OC'+OC-OA-OB\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fdcb53a596d52ea73664331929573def3a7e2a0)