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À UN TRIANGLE QUELCONQUE.
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\beta +\operatorname {Tang} .\gamma =\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta \operatorname {Tang} .\gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae5ec6849926e499ab7e04c0965c058283d19e7)
Il s’agit donc d’inscrire à ce triangle trois cercles tels que chacun
d’eux touche les deux autres et deux côtés du triangle ; et il est
d’abord clair que les centres de ces cercles devront être situés sur
les droites
qui divisent ces angles en deux parties
égales. Soient respectivement
ces centres, et
les rayons qui leur correspondent.
Si l’on projette orthogonalement les centres
sur le côté
leurs projections diviseront ce
côté en trois segmens dont les extrêmes seront évidemment
Quant au segment intermédiaire, il ne sera autre chose
que la projection de la distance des centres
et sera
conséquernment
![{\displaystyle {\sqrt {(x+y)^{2}-(x-y)^{2}}}={\sqrt {4xy}}=2{\sqrt {xy}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cffe9923df37e4932eadcac17d40720ffd4fcf8)
égalant donc la somme de ces trois parties à la première expression du côté
on aura
![{\displaystyle x\operatorname {Tang} .\alpha +2{\sqrt {xy}}+y\operatorname {Tang} .\beta =\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae93d3444156e886d204acc38181a1e1e4759e0)
La considération des deux autres côtés donnera des équations
analogues, de sorte qu’en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Tang} .\alpha =a,\\&\operatorname {Tang} .\beta =b,\\&\operatorname {Tang} .\gamma =c\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68b671834183fabd8aabff7bf394e9859350f74)
tout se trouvera réduit à résoudre, par rapport à
les trois équations