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INDÉTERMINÉE.
![{\displaystyle {\frac {379}{600}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {4}{25}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f72c3573acb4ba6e33bd0230f6bdaa01bf5ae6a)
et nous venons de voir tout-à-l’heure comment se décomposaient
les fractions de la dernière sorte.
Si, en général, on a la fraction numérique
dans laquelle les nombres
soient premiers entre eux, on
pourra la décomposer en
![{\displaystyle {\frac {a'}{a^{\alpha }}}+{\frac {b'}{b^{\beta }}}+{\frac {c'}{c^{\gamma }}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b78174d081d0e3919fe73cb2fcf32453854b04)
dans laquelle les numérateurs seront moindres que les dénominateurs.
Cette application de l’analise indéterminée ordinaire a déjà été
indiquée par M. Legendre (Théorie des nombres, dernière édition,
pag. 26). La décomposition des fractions littérales, fonctions d’une
variable, est une application toute semblable de la nouvelle analise
indéterminée dont il vient d’être question ci-dessus.
Soit, en premier lieu, la fraction
![{\displaystyle {\frac {4+t-5t^{2}+38t^{3}-19t^{4}+2t^{5}}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301c4db45b3f4d07298524bfd967776091c383b1)
qu’il faille décomposer en deux autres dont les dénominateurs soient
et
en désignant les numérateurs par
on aura
![{\displaystyle {\frac {x}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{3}}}+{\frac {y}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{2}}}={\frac {4+t-5t^{2}+38t^{3}-19t^{4}+2t^{5}}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d47a9324e11e3f4a726f6f937b253019d90cf16)
ou
![{\displaystyle x+\left(1+5t-2t^{2}\right)y=4+t-5t^{2}+38t^{3}-19t^{4}+2t^{5},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbb27f82df0400c17ab310f1ba0a0e830203f1f)
en résolvant cette équation comme ci-dessus, on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=(3-2t)+\left(1+5t-2t^{2}\right)T,\\&y=\left(1-2t+t^{2}-7t^{3}\right)-T.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc485491599648419d189e1f6bbb2074db49705d)
Si l’on veut que
soit d’un degré inférieur au second, et
d’un